ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL Y REDUCIBLE A LINEAL

A continuación hablaremos de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden lineal y reducibles a lineal.

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es lineal si puede escribirse de la forma:

$${y}'+P(x)y=Q(x)$$

Donde $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones que sólo dependen de $“x”$  o pueden ser constantes.

Tipos de ecuaciones diferenciales del tipo lineal

Las ecuaciones diferenciales del tipo lineal se pueden clasificar de dos formas, aunque podrían ser más si en esa clasificación incluyéramos las ecuaciones diferenciales que se reducen a la forma lineal. Sin embargo, por el momento solo nos referiremos a las que son del tipo lineal homogéneas y las que son NO homogéneas. Luego, en esta misma lectura tomaremos en cuenta la clasificación de las ecuaciones diferenciales reducibles a lineal.

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal homogénea

Una ecuación diferencial lineal ${y}'+P(x)y=Q(x)$ se dice que es homogénea si y sólo si $Q(x)=0$. Con lo cual, la ecuación toma la forma ${y}'+P(x)y=0$ facilitando su resolución como una ecuación diferencial de variables separables.

Ejemplo 1

Determinar la solución general de la E.D.O

$$ y^{\prime }+2xy=O $$
Como se puede apreciar la E.D.O es lineal y homogénea, siendo $P(x)=2x$ y $Q(x)=0$, y además se puede expresar de la siguiente forma
$$ \dfrac{dy}{dx}+2xy=O $$
Separando variables se tiene
$$ \dfrac{1}{y}dy=-2xdx$$
Integrando
$$ \int\dfrac{1}{y}dy=-2\int xdx$$
ambas integrales son inmediatas, al resolver se obtiene la solución general
$$ Ln(y)=- x^{2}+C$$
la solución general también puede expresarse de la siguiente forma
$$ y=Ke^{- x^{2}}$$
siendo $ K=e^{C} $

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal NO homogénea o completa

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal ${y}'+P(x)y=Q(x)$ se dice que es NO homogénea o completa si y sólo si $P(x)\neq 0 $ y $Q(x)\neq 0 $, la cual se resuelve buscando un factor integrante que va a depender siempre de $“x”$.

Pasos para la obtención la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal de la forma

$$a_0(x){y}'+a_1(x)y=b(x)$$

1- Multiplica la ecuación diferencial por $\frac{1}{a_0(x)}\therefore (a_0(x)\neq 0)$, para que la ecuación quede de la forma $${y}’+P(x)y=Q(x)$$

2- Buscar el factor integrante, el cual solo depende solo de $“x”$ y viene dado por:

$$\large \mu (x)=e^{\int P(x)dx}$$

3- Multiplicar la ecuación diferencial obtenida en el paso 1 por el factor integrante $ \mu (x) $ y por $ dx $

$$\underbrace{e^{\int P(x)dx}dy+e^{\int P(x)dx}P(x)ydx}=e^{\int P(x)dx}Q(x)dx$$

4- Sustituir $ e^{\int P(x)dx}dy+e^{\int P(x)dx}P(x)ydx $ por el diferencial total de $y\mu (x)$, es decir, por $d\left( ye^{\int P(x)dx}\right) $ quedando
$$d\left( ye^{\int P(x)dx}\right)=e^{\int P(x)dx}Q(x)dx$$

5-  Integrar la ecuación obtenida en el paso 4

$$\large \int d\left ( e^{\int P(x)dx}y \right )=\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx+C$$
obteniendo la solución general
$$\large e^{\int P(x)dx}y=\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx+C$$

Finalmente despejar $y$

Ejercicios resueltos de las ecuaciones diferenciales lineales

A continuación presentamos una serie de ejercicios resueltos paso a paso  de la ecuación diferencial del tipo lineal.

Ejemplo 1

Determinar la solución general de la E.D.O
$$ xy^{\prime }+2y=x^{5} $$

Paso 1 Multiplicar la ecuación diferencial por $\frac{1}{x}\therefore (x\neq 0)$, para que la ecuación quede de la forma

$${y}'+\dfrac{2}{x}y=x^{4}$$
E.D.O lineal siendo $ P(x)=\dfrac{2}{x} $ y $ Q(x)=x^{4} $

Paso 2. Buscar el factor integrante, el cual depende sólo de $x$ y viene dado por:

$$ \large \mu (x)=e^{\int \frac{2}{x}dx}=e^{2Lnx}=e^{Lnx^{2}}=x^{2} $$

Paso 3. Multiplicar la ecuación diferencial obtenida en el paso 1 por el factor integrante $ \mu (x) $ y por $ dx $

$$x^{2}dy+2xydx=x^{6}dx$$

Paso 4. Sustituir $ e^{\int P(x)dx}dy+e^{\int P(x)dx}P(x)ydx $ por el diferencial total de $y\mu (x)$, es decir, por $d\left( y\mu (x)\right) $ quedando

$$\underbrace{x^{2}dy+2xydx}_{d\left( yx^{2}\right)}=x^{6}dx$$
Por lo tanto se obtiene
$$d\left( yx^{2}\right)=x^{6}dx$$

Paso 5. Integrar la ecuación obtenida en el paso 4

$$\large \int d\left( yx^{2}\right) =\int x^{6}\,dx+C$$
obteniendo la solución general
$$yx^{2}=\dfrac{x^{7}}{7}+C$$
despejando $ y $ se obtiene
$$y=\dfrac{x^{5}}{7}+\dfrac{C}{x^{2}}$$

Puedes ver más ejercicios de la ecuación diferencial lineal de primer orden en la sección de sugeridos expuesto debajo de esta publicación.

⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden reducibles a lineal

Cuando no es posible encontrar la solución general de la ecuación que presumimos pueda resultar lineal entonces debemos apelar a ciertos arreglos matemáticos que nos permitan retomar los pasos para hallar la solución general de una ecuación diferencial del tipo línea.

Es por ello, que a estas alturas ya debemos tener un claro dominio de los métodos matemáticos para dar con el resultado de una ecuación diferencial, ya sea de variables separadas o separables, homogéneas, reducibles a homogéneas, así como exactas y reducibles exactas.

Los siguientes métodos que trataremos a continuación de forma general, son las ecuaciones de Bernoulli y las de Riccati que es posible reducirla a la forma lineal mediante ciertos métodos matemáticos.

Ecuación diferencial de primer orden reducible a lineal, ecuación de Bernoulli

Una ecuación diferencial de la forma

${y}’+P(x)y=Q(x)y^n$

donde $n$ es un número real cualquiera y $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones que solo dependen de $“x”$ se conoce con el nombre de ecuación de Bernoulli.

Si quieres ver los pasos a seguir para su resolución y ejercicios resueltos paso a paso puedes hacer clic en el botón donde podrás ver a profundidad el tema.

ECUACIÓN DE BERNOULLI

Ecuación diferencial de primer orden reducible a lineal, ecuación de Riccati

La ecuación de Riccati es un tipo de ecuación que tiene la forma ${y}’+yp(x)+ y^2q(x)=r(x)$ de donde es posible reducirla a la forma lineal realizando el siguiente cambio de variable:

$y=u+\frac{1}{v}$ con su respectiva derivada ${y}’={u}’+\frac{{v}’}{v^2}$

¿Quieres saber más? En el siguiente botón podrás encontrar el resto del contenido con ejercicios resueltos paso a paso de la ecuación de Riccati.

ECUACIÓN DE RICCATI