HOMOGÉNEAS Y REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS

📝 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS TEORÍA Y EJERCICIOS.✅ Todo lo que necesitas saber para el dominio pleno de la Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden.

Existen varios tipos de ecuaciones diferenciales homogéneas, de las que podemos destacar  las de grado $n$, de la que hablaremos mas adelante en esta misma publicación, las ecuación diferencial ordinaria homogénea de primer orden y las que se reducen a homogénea, estas que se pueden dividir en dos, que son: la ecuación reducible a homogénea con rectas paralelas y la ecuación reducible a homogénea con rectas que se cortan.

Todas estas, las abordaremos en esta publicación  y en las que le sucederán luego.  Por supuesto, como debe de ser, con teoría y ejercicios, además de algunos videos con clases de ejercicios para que puedas reforzar lo aprendido. Comencemos.

Función homogénea de grado “$n$”

Se dice que la función $F(x,y)$ es homogénea de grado “$n$” de homogeneidad si se cumple que $F(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}F(x,y)$ para todo número real $\lambda$

Sobre esto, haremos unos ejercicios que nos parecen bastante convenientes.

Ejercicios de funciones homogéneas de grado “$n$”

Determine si las siguiente funciones son homogéneas y de ser posible indique su grado de homogeneidad.

• $F(x,y)=\frac{x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}}{xy}$
• $G(x,y)=x^{2}e^{\frac{x}{y}}\sin \left ( \frac{y^{2}}{x} \right )$
• $H(x,y)=y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Proposición

Si la función F(x,y) es homogenea de grado “$n$” de homogeneidad, entonces $F(x,y)=x^{n}f\left ( \frac{y}{x} \right )$

Problema.

Demuestre que las siguientes funciones son homogéneas y de resultar cierto indique el grado de homogeneidad y la aplicación de la proposición.

• $F(x,y)=2xy-3x^{2}+y^{2}$
• $G(x,y)=6x^{2}+4\sqrt{xy^{3}}$
• $H(x,y)=\frac{(2x-5y)}{(x^{2}+y^{2})}$

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden homogénea

La ecuación de homogénea de grado $1$  tiene como principal característica la siguiente forma:

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

De esta se puede decir que las funciones $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ son homogéneas con el mismo grado de homogeneidad.

¿Cómo resolver una ecuación diferencial homogénea de orden $1$?

Para hallar la solución general de una E.D.O Homogénea de primer orden, sugerimos seguir los siguientes pasos descritos a continuación:

Pasos para la obtención de la solución general de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden homogénea $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

1. Verificar si las funciones $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ son homogéneas y con el mismo grado de homogeneidad.
2. Si el grado de homogeneidad de las funciones $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ es “$n$”, procedemos a aplicar la proposición a las funciones involucradas, es decir, $P(x,y)$ y $Q(x,y)$. En otras palabras, sacamos un factor común, que en nuestro particular será $x^{n}$, de esta forma:
   $ x^{n}P(\frac{y}{x})dx+x^{n}Q(\frac{y}{x})dy=0 $
3. Luego se multiplica la ecuación por $ \frac{1}{x^{n}}$ quedando como resultado:
   $P(\frac{y}{x})dx+Q(\frac{y}{x})dy=0$
4. Realizamos un cambio de variables, este concretamente: $\left\{\begin{matrix}v=\frac{y}{x} &\Rightarrow &y=vx \\ dy=xdv& + & vdx\end{matrix}\right.$
   Luego, al sustituir los valores de nuestras nuevas variables nos quedara $p(v)dx+q(v)(xdv+vdx)=0$
5. Sacando a $dx$ como factor común nos queda:
   $\left [ p(v)+vq(v) \right ]dx+xq(v)dv=0$
6. Luego, multiplicamos esa misma expresión por :
   $\frac{1}{x\left [ p(v)+vq(v) \right ]}$
   Quedando como resultado: $\frac{1}{x}dx+\frac{q(v)}{\left [ p(v)+vq(v) \right ]}dv=0$
7. Integramos la ecuación diferencial de variables separadas y resolvemos la integral
8. Devolvemos los cambios de variable que habíamos efectuado
   $\left\{\begin{matrix}v=\frac{y}{x} &\Rightarrow &y=vx \\ dy=xdv& + & vdx\end{matrix}\right.$
9. Despejamos $y$ de ser posible.

Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden

• • Obtener la solución general de la ecuación diferencial homogénea

  $ (4x^{3}+y^{3})dx+\left( 3xy^{2}-8y^{3}\right)dy =0 $

  Solución:

  $\textbf{Paso 1:}$ Identificar si es una E.D.O homogénea
  $ P(\lambda x, \lambda y)= 4(\lambda x)^{3}+(\lambda y)^{3}= \lambda^{3}(4x^{3}+y^{3}) $, función homogénea de grado 3
  $ Q(\lambda x, \lambda y)= 3(\lambda x)(\lambda y)^{2}-8(\lambda y)^{3}= \lambda^{3}\left( 3xy^{2}-8y^{3}\right) $, función homogénea de grado 3
  Por lo tanto la E.D.O es homogénea de grado 3.
  $\textbf{Paso 2:}$ Multiplicar la E.D.O por $ \dfrac{1}{x^{n}} $, siendo $ n $ el grado, en este caso, por $ \dfrac{1}{x^{3}} $ obteniéndose
  $$ \left( 4+\dfrac{y^{3}}{x^{3}}\right) dx+\left( 3\dfrac{y^{2}}{x^{2}}-8\dfrac{y^{3}}{x^{3}}\right) dy=0$$
  $\textbf{Paso 3:}$ Aplicar el cambio de variable $ v=\dfrac{y}{x} $, siendo $ y=xv $, por lo tanto derivando se tiene que $ dy=vdx+xdv $. Sustituyendo en la E.D.O
  $$ \left( 4+v^{3}\right)dx +\left(3v^{2}-8v^{3}\right)\left( vdx+xdv\right) = 0$$
  Desarrollando el producto y agrupando se obtiene
  $$ \left( 4+4v^{3}-8v^{4}\right)dx +x\left(3v^{2}-8v^{3}\right)dv = 0$$
  la cual es una ecuación diferencial de variables separables, separando las variables
  $$\dfrac{1}{x}dx+\left( \dfrac{3v^{2}-8v^{3}}{4+4v^{3}-8v^{4}}\right) dv =0 $$
  Integrando cada término, se puede notar que ambas integrales son inmediatas
  $$\displaystyle{\int}\dfrac{1}{x}\, dx+\dfrac{1}{4}\displaystyle{\int}\left( \dfrac{3v^{2}-8v^{3}}{1+v^{3}-2v^{4}}\right)\, dv =C $$
  Obteniéndose
  $$ Ln|x|+\dfrac{1}{4}Ln|1+v^{3}-2v^{4}|=C $$
  Utilizando propiedades del logaritmo la solución puede expresarse de la siguiente forma
  $$ x^{4}\left(1+v^{3}-2v^{4}\right) =k $$
  $\textbf{Paso 4:}$ Devolver el cambio de variable para obtener la solución general de la ecuación diferencial dada.
  $$ x^{4}\left[ 1+\left( \dfrac{y}{x}\right) ^{3}-2\left( \dfrac{y}{x}\right)^{4}\right] =k $$
  Finalmente desarrollando y simplificando se tiene la solución general
  $$ x^{4}+ xy^{3}-2y^{4} =k $$

Ejemplos de ecuaciones de ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas

A continuación presentamos una serie de ejercicios que facilitaran la comprensión de lo que hasta ahora hemos comentado acerca de las ecuaciones diferenciales que se reducen a homogénea.

Determinar la solución general de la siguiente ecuación diferencial reducible a homogénea:

$\left ( x-2y+4 \right )dx+\left ( 2x-y+2 \right )dy=0$

Las funciones $P\left ( x,y \right )=\left ( x-2y+4 \right )$ y $Q\left ( x,y \right )=\left ( 2x-y+2 \right )$ representan rectas. Con lo cual, se debe comprobar si existe entre ellas paralelismo o no.

Paso 1, identificar si las rectas son paralelas o si se cortan en el algún punto

Para ello identificamos los coeficientes de las variables y comprobamos:

$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}$. Para este particular $a_1=1$,

$b_1=-2$, $a_2=2$ y $b_2=-1$.

$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}\, \Rightarrow \, \frac{1}{2}\neq \frac{-2}{-1}$

Como podemos apreciar, se trata de rectas que se cortan en un punto, por lo que nuestro objetivo ahora será hallar ese punto de intersección.
Igualando las coordenadas de las rectas

$\left\{\begin{matrix}
x-2y=-4\, \left ( 1 \right )\\
\\ 2x-y=-2\, \left ( 2 \right )
\end{matrix}\right.$

Multiplicando la ecuación $1$ por $-2$ y haciendo las reducciones correspondientes nos queda: $y=2$ sustituyendo el valor de $y$ en cualquiera de las dos ecuaciones encontramos que $x=0$, con lo cual la coordenada del punto de intersección entre las rectas es $\left ( 0,2 \right )$

Paso 2, realizar el cambio de variable que sugiere el método de las ecuaciones diferenciales reducibles homogéneas con rectas que se cortan

Como paso siguiente nos queda realizar el cambio de variable $y=k+2$ y $dy=dk$

Sustituyendo en la ecuación dada.

$\left ( x-2\left ( k+2 \right )+4 \right )dx+\left ( 2x-\left ( k+2 \right )+2 \right )dk=0$

Paso 3, factorizamos la ecuación hasta obtener una expresión mucho más fácil de manejar

Simplificando

$\left ( x-2k \right )dx+\left ( 2x-k \right )dk=0$

Una ecuación homogénea de grado $1$

Factorizando con $k$

$k\left [ \frac{x}{k}-2 \right ]dx+ k\left [ 2\frac{x}{k}-1 \right ]dk=0$

Multiplicando la ecuación por $\frac{1}{k}$

$\left [ \frac{x}{k}-2 \right ]dx+ \left [ 2\frac{x}{k}-1 \right ]dk=0$

Empleando un cambio de variable

$\frac{x}{k}=w\, \wedge \, x=kw\, \wedge\, dx=kdw+wdk$

Sustituyendo en la ecuacion

$\left [ w-2 \right ]\left [ kdw+wdk \right ]+\left [ 2w-1 \right ]dk=0$

Factorizando y separando variables

$\left [ w-2 \right ]kdw+\left [ w^{2}-1 \right ]dk=0$
$\frac{\left [ w-2 \right ]}{\left [ w^{2}-1 \right ]}dw+\frac{1}{k}dk=0$

Esta última expresión nos permite actuar como en las ecuaciones diferenciales separadas, con lo cual procederemos a integrar estas ecuaciones separadas cada una con su respectivo diferencial.

$\int \frac{\left [ w-2 \right ]}{\left [ w^{2}-1 \right ]}dw+\int \frac{1}{k}dk=0$

Como podemos ver, la segunda integral es sencilla, de hecho es inmediata.
$\int \frac{1}{k}dk=0$ $\Rightarrow$ $\ln k=C_1$
Ahora nos hacemos cargo de la segunda integral que si requiere de un poco de más de atención.

NOTA: No es objetivo nuestro hacernos cargo de los detalles del cálculo integral ya que en este nivel eso debe ser etapa superada, aun así estamos preparando una plataforma dedicada únicamente al cálculo integral pero mientras la tenemos lista nos toca repasar por nuestra cuenta.

$\frac{1}{2}\ln \left ( w^{2}+1 \right )+\ln \left [ \frac{1+w}{1-w} \right ]=C_2$

Ahora, uniendo ambas soluciones

$\frac{1}{2}\ln \left ( w^{2}+1 \right )+\ln \left [ \frac{1+w}{1-w} \right ]+ \ln k=C$

Devolviendo los cambios

$\frac{1}{2}\ln \left [ \left ( \frac{x}{y-2} \right )^{2}+1 \right ]+\ln \left [ \frac{1+\frac{x}{y-2}}{1-\frac{x}{y-2}} \right ]+\ln \left ( y-2 \right )=C$

Puedes ver más ejercicios de ecuaciones diferenciales homogéneas y reducibles a homogéneas en las publicaciones que se encuentran debajo de esta publicacion.

⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓