ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales son un tipo de ecuación en la que se establece una relación entre una o más variables independientes, una función incógnita y sus derivadas.

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E.D.O. DE PRIMER ORDEN DE VARIABLES SEPARADAS Y SEPARABLES

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separadas y variables separables son de la forma: $Q(y)dx+P(x)dy=0$. Para transformar dicha ecuación diferencial en una de variables separadas solo es necesario multiplicar la ecuación por un factor $\frac{1}{P(x)Q(y)}$

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E.D.O. DE PRIMER ORDEN HOMOGÉNEA & REDUCIBLE A HOMOGÉNEA

Estas son de primer orden y tienen la forma: $Q(x,y)dx+P(x,y)dy=0$. Si las funciones $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ son homogéneas con igual grado de homogeneidad, la ecuación es homogénea. Las reducibles requieren de métodos matemáticos simples para su resolución y son de la forma:$(a_{1}x+b_{1}y+c_{1})dx+(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})dy=0$

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E.D.O. DE PRIMER ORDEN EXACTA & REDUCIBLE A EXACTA

Estas son de primer orden y tienen la forma: $Q(x,y)dx+P(x,y)dy=0$. Es una diferencial exacta en una región $R$ del plano $xy$ si corresponde a la diferencia total de alguna función $F(x,y)$, en otras palabras:$\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}$, si las derivadas parciales de 2do orden cruzadas son iguales.Las reducibles a exactas cumplen con esta particularidad $\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}\neq \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}$

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E.D.O. DE PRIMER ORDEN LINEAL

Estas son de primer orden y tienen la forma: ${y}’+P(x)y=Q(x)$. Donde $P(x)$ y $Q(x)$, como puedes notar son funciones que dependen de $x$ o simplemente pueden ser constantes. Este tipo de ecuaciones puede ser homogénea $\therefore Q(x)\neq 0$ o no homogénea (también conocida “completa”)$\therefore Q(x)$, ambos casos sugieren métodos de resolución distintos.

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E.D.O. REDUCIBLE A LINEAL O ECUACIÓN DE BERNOULLI

Estas son de primer orden y tienen la forma: ${y}’+P(x)y=Q(x)y^{n}$. Donde $n$ es un número real cualquiera y $F(x)$ y $Q(x)$ son funciones que solo dependen de “$x$”. Esta ecuación de primer orden se conoce como la ecuación de Bernoulli. Su resolución requiere de simples pasos y métodos matemáticos básicos.

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E.D.O. REDUCIBLE A LINEAL O ECUACIÓN DE RICCATI

Estas son de primer orden y tienen la forma: ${y}’+P(x)y+Q(x)y^{2}=r(x)$. Si se conoce una solución particular $u$ de la ecuación de dada, es posible reducirla a lineal mediante un cambio de variable, concretamente este: $y=u+\frac{1}{v}$, que luego de derivar, agrupar y ordenar nos queda: ${v}’-\left [ P(x)+2uQ(x) \right ]v=q(x)$

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GUIA DE EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Con el fin de afianzar los conocimientos adquiridos durante la lectura de nuestra web hemos puesto a su disposición una guía completa de ejercicios resueltos. Cada uno de los problemas propuestos y resueltos de nuestra guía cuentan con todos los detalles para que puedas aprender cómo se resuelve una ecuación diferencial paso a paso
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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales tienen múltiples aplicaciones que podemos notar tanto en el llenado o vaciado de un tanque, en el cambio de la temperatura de un cuerpo, en los circuitos eléctricos, en los problemas de mezclas, en fin, las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales son muchas y muy interesantes. Todas ellas las descubriremos en nuestra web con algunos ejercicios
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FACTOR INTEGRANTE DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

El factor integrante de una ecuación diferencial no es más que un acuerdo matemático que nos facilita la resolución de una ecuación diferencial. Es posible que cierto tipo de ecuaciones diferenciales requieran de un factor integrante particular para poder hallar su solución general. También se puede dar la tarea de demostrar si una ecuación diferencial admite o no un Factor Integrante específico.

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GENERALIDADES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

[kkstarratings] Nuestro propósito es ofrecer en el mejor y más detallado contenido asociado a las ecuaciones diferenciales, desde sus métodos de resolución hasta sus aplicaciones en las distintas áreas de la ciencia.

Con lo cual, esperamos brindar las respuesta más clara y coherente a las consultas realizadas por los internautas.

Definiciones preliminares de la ecuación diferencial

Los breves conceptos presentados a continuación son solo una muestra de los que el usuario encontrará en nuestra web  ECUACIONESDIFERENCIALES.COM, conceptos que podrá ampliar en el interior de nuestra página web a través de los distintos enlaces señalados en ella.

Constante arbitraria

¿Qué es una constantes arbitraria?, las constantes arbitrarias como su nombre lo indica son un conjunto de constantes que pertenecen a un haz de curvas planas. Sin embargo, la definición matemática de una constante arbitraria también nos sugiere:

Definición de una constante arbitraria: Dado un haz de curvas planas $F(x,y,C_1,c_2,…,C_n)$ se dice que $ C_1,c_2,…,C_n$ son $n$ constantes arbitrarias , si y solo si es posible la eliminación de ellas de las $n+1$ relaciones siguientes:

$ \left\{\begin{matrix}
F\left ( x,y,C_{1},C_{2},…C_{n} \right )=0 \\
\frac{d}{dx}F\left ( x,y,C_{1},C_{2},…C_{n} \right )=0 \\
.\\
.\\
\frac{d^{n}}{dx^{n}}F\left ( x,y,C_{1},C_{2},…C_{n} \right )=0
\end{matrix}\right.$

 

En caso de que no sea necesario derivar hasta el orden $n$, para lograr la eliminación, de dice que las constantes $C_1,C_2,…C_n$ no son todas arbitrarias. En el enlace señalado en la parte superior se puede tener acceso a una información mucho más amplia con ejemplos y ejercicios resueltos.

Ecuación diferencial ordinaria, definición y ejemplos

¿Qué es una ecuación diferencial ordinaria?, se entiende por ecuación diferencial ordinaria, toda relación entre dos variables que contienen derivas y carece de constantes arbitrarias.

Algunos ejemplos de las ecuaciones diferenciales ordinarias son los siguientes:

1 $(x+y)dx+(x-y)dy$

2 $ y=\frac{x}{{y}’}+{y}’ $

3 $ {y}”+{y}’+y=\sin x$

En el caso de que necesites ampliar la información y encontrar más detalles acerca de cómo obtener la solución de una ecuación diferencial ordinaria hemos colocado un enlace desde donde puedes acceder a la publicación que ya hemos facilitado para ti en  nuestro sitio web. El enlace hacia dicha publicación lo tienes aquí y en el botón que está en la parte de arriba con el título Ecuación diferencial ordinaria.

Solución de una ecuación diferencial

Una solución de una ecuación diferencial es toda función que sustituida en la ecuación diferencial la reduce a la identidad.

Estas pueden clasificarse en los siguientes tipos de soluciones.

Tipos de solución de una ecuación diferencial

Los distintos tipos de soluciones posibles a las ecuaciones diferenciales están descritos a continuación

Solución general de una ecuación

La solución general de una ecuación diferencial es una función que satisface las siguientes condiciones:

  • Es independiente de las derivadas
  • Tiene tantas constantes arbitrarias como el orden de la ecuación diferencial
  • Verifica o satisface la ecuación diferencial

Solución particular de una ecuación diferencial

Es cualquier solución que se obtiene a partir de la solución general, asignándoles valores numéricos a las constantes arbitrarias, según ciertas condiciones dadas sobre la variable dependiente y/o sus derivadas.

Solución singular de una ecuación diferencial

Una solución singular de una ecuación diferencial  es aquella solución que NO puede obtenerse de la solución general asignándole valores específicos a las constantes arbitrarias.

Problemas de valor inicial

A través del problema de valor inicial se busca determinar una solución particular, de la ecuación diferencial asociada al caso en estudio, sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas específicas en un valor de la variable independiente. Dichas condiciones e conocen como condiciones iniciales.

Problemas de valor de frontera

Un problema de valor de frontera solo busca determinar una solución particular, de la ecuación diferencial asociada al problema concretamente. Sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas específicas en dos o más valores de la variable independiente. Dichas condiciones e conocen como condiciones de frontera.

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Las ecuaciones diferenciales están expresadas de distintas formas que plantean distintos tipos de métodos de resolución.

Por lo que hacer una clasificación de los tipos de ecuaciones diferenciales resulta conveniente para una mejor comprensión de la materia y usted como estudiante pueda alcanzar los objetivos que se plantea con ella, en este caso comprenderlas para luego realizar las aplicaciones que esta tiene dentro del campo de la ciencia.

Clasificación de las ecuaciones diferenciales según el tipo de derivada que involucra

Según el tipo de derivada aplicada en la ecuación podemos clasificar las ecuaciones diferenciales en:

Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.)

Es un tipo de ecuación diferencial en la cual aparecen derivadas ordinarias de una variable dependiente respecto a una sola variable independiente. Dicho de otra forma, se define como ecuación diferencial ordinaria toda relación entre dos variables que contiene una derivada y carece de constantes arbitrarias.

Estas son de la forma:

$\frac{dr}{d\phi }=\sqrt{r\phi}$

${y}”-4{y}’-5y=e^{3x}$

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+ y = 0$

Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales

Las ecuaciones diferenciales de derivadas parciales son la forma:

$9\frac{\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}= 4\frac{\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}$

$ \frac{\partial U}{\partial Z}= 4\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial U}{\partial y} $

Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales son el tipo de ecuación diferencial en la cual aparecen derivadas parciales, como lo puedes notar en los ejemplos dados, de una sola variable dependiente respecto a dos o más variables independientes.

Orden de una Ecuación Diferencial

El orden de una ecuación diferencial se encuentra representado por el orden, valga la expresión; de la mayor derivada que se encuentra en la ecuación dada. En otras palabras, es la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación diferencial.

Algunos de los ejemplos representados a continuación nos dan una clara ilustración de lo que acabamos de mencionar.

Ecuación diferencialOrden de la ecuación
$(y^{2}+1)+(x^{2}+x){y}’\, =\, 0$Primer orden
$x({y}’)^{2}-2x{y}’+4x\, =\, 0$Primer orden
${y}”+4{y}’-5y=3e^{3x}$Segundo orden
${y}”’+2{y}”-4{y}’-5y=0$Tercer orden
..
..
..
${y}’n-4{y}’-5y=0$enésimo orden

Clasificación de las ecuaciones diferenciales según el orden de la ecuación diferencial

Las ecuaciones diferenciales tienen una subclasificación que está asociada al orden de la ecuación diferencial, con lo cual haremos una descripción de cada una de ella con su respectivo enlace donde puede ampliar la información dentro de nuestra web.

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado de variables separadas

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado de variables separables

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado homogénea

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado reducible a homogénea

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado exacta

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado reducible a exacta

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado lineal

Ecuación diferencial de primer orden y de primer grado reducible a lineal

 

Grado de una Ecuación de Diferencial

El grado de una ecuación diferencial es el exponente de la derivada de mayor orden en la ecuación dada. En otras palabras, el grado lo determina la potencia a la cual esta elevada la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial.

Algunos ejemplos como los presentados a continuación facilitaran la comprensión de lo que hasta el momento hemos dicho sobre el grado de la ecuación diferencial.

Grado de las Ecuaciones Diferenciales Ejemplos

Ecuación diferencialGrado de la ecuación
$\left ( \frac{\partial ^{3}v}{\partial s^{3}} \right )^{2}+\left ( \frac{\partial ^{2}v}{\partial s^{2}} \right )^{3}= s-3t$$2$
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}}+\sin \left ( \frac{dx}{dy} \right )^{3}= 0$$1$
$y= \frac{x}{{y}’}+{y}’$$2$
$y{y}’=x+\left ( {y}’ \right )^{2}$$2$
..
..
..
$\left ( {y}’ \right )^{n}=xy+\left ( {y}’ \right )$$n$

Tipos de Ecuaciones Diferenciales Según el Grado de la Ecuación Diferencial

El grado de una ecuación diferencial puede determinar el tipo de resolución que esta pueda tener, debido a que el grado influye en la forma de la ecuación o el tipo de la ecuación diferencial.

Por lo que resulta conveniente aclarar la definición del grado de una ecuación diferencial y los distintos tipos de ecuaciones que existen según el grado.

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